Qurak

Plausibile non è lo stesso che giusto

Sei problemi a cui un modello linguistico risponde con sicurezza e in modo sbagliato, accanto a ciò che il motore calcola.

Un assistente che risponde per schemi sbaglia appena abbastanza spesso da contare, e sbaglia in un modo particolare: la risposta ha la forma giusta. La serie ha i primi termini giusti; l'integrale è un valore famoso con gli estremi sbagliati attaccati; la fattorizzazione si ferma dove finisce l'ispezione. Ogni riga qui sotto mostra la risposta dello schema, il termine in cui fallisce, e ciò che il motore restituisce quando invece calcola.

Nessun modello è nominato in questa pagina. La colonna di sinistra è ciò che il riconoscimento di schemi produce su questi problemi in generale, e invecchia nel momento in cui un qualsiasi modello migliora; la colonna di destra è riverificata contro il motore a ogni build, e questa pagina non può essere pubblicata se si discosta.

Series[Tan[x], {x, 0, 9}]

Un modello linguistico, che risponde per schemi

x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + 31x^9/2835 + O(x^11)

Il termine sbagliato: 31x^9/2835

Qurak, che calcola

SeriesData[x, 0, {1, 0, 1/3, 0, 2/15, 0, 17/315, 0, 62/2835}, 1, 10, 1]

verificato contro il motore alla build

The first four coefficients are common enough to be recalled correctly; the fifth is not. The true coefficient is 62/2835. A series that is right to four terms and wrong at the fifth looks like knowledge and is the shape of a guess.

Calcolalo tu stesso

Eigenvalues[{{2, 0, 0, 1}, {0, 3, 1, 0}, {0, 1, 3, 0}, {1, 0, 0, 2}}]

Un modello linguistico, che risponde per schemi

{4, 2, 3, 1} - or, from a sign slip in the characteristic polynomial, {4, 3, 2, -1}

Il termine sbagliato: -1

Qurak, che calcola

{4, 3, 2, 1}

verificato contro il motore alla build

A 4x4 characteristic polynomial has enough terms for one sign to go wrong on the way to the answer, and a wrong sign produces a wrong eigenvalue that still looks like one. Here the matrix decouples into two 2x2 blocks; the engine finds all four exactly rather than approximating the quartic.

Calcolalo tu stesso

Integrate[Sin[x]/x, {x, 0, Infinity}]

Un modello linguistico, che risponde per schemi

Pi - the integral over the whole real line, quoted for the half line

Il termine sbagliato: Pi

Qurak, che calcola

Pi/2

verificato contro il motore alla build

The Dirichlet integral is famous enough to be recalled, and famous enough to be recalled with the wrong limits: the value over (-inf, inf) is Pi, over (0, inf) it is Pi/2. Both facts are true; attaching the right one to the limits written down is the computation.

Calcolalo tu stesso

FactorInteger[987654321987]

Un modello linguistico, che risponde per schemi

{{3, 1}, {329218123329, 1}} - the cofactor declared prime by inspection

Il termine sbagliato: 329218123329 declared prime

Qurak, che calcola

{{3, 1}, {329281, 1}, {999809, 1}}

verificato contro il motore alla build

Dividing out the 3 is easy; deciding whether the twelve-digit cofactor is prime is not something inspection can do, so a plausible answer stops there and calls it prime. The engine factors it, and it is not.

Calcolalo tu stesso

PowerMod[3, 1000000, 1000000007]

Un modello linguistico, che risponde per schemi

1 - by Fermat's little theorem, misapplied: 3^(p-1) is 1 mod p, but the exponent here is not p-1

Il termine sbagliato: 1

Qurak, che calcola

64935414

verificato contro il motore alla build

The theorem is real and the shape of the problem invites it, but 10^6 is not 10^9+6. The correct residue is reached only by actually reducing, which is a few hundred squarings - trivial for an engine and impossible by inspection.

Calcolalo tu stesso

Sum[1/n^4, {n, 1, Infinity}]

Un modello linguistico, che risponde per schemi

Pi^4/96, or Pi^4/45 - a neighbour of the right constant

Il termine sbagliato: Pi^4/96

Qurak, che calcola

Pi^4/90

verificato contro il motore alla build

zeta(2) = Pi^2/6 is remembered by everyone; zeta(4) is remembered as 'Pi^4 over something', and the something is where a recalled answer diverges from a computed one. 90 is right; 96 and 45 both appear in nearby identities and are both wrong here.

Calcolalo tu stesso

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