Qurak

Plausibel ist nicht dasselbe wie richtig

Sechs Aufgaben, die ein Sprachmodell selbstbewusst und falsch beantwortet, neben dem, was die Engine rechnet.

Ein Assistent, der aus Mustern antwortet, liegt gerade oft genug falsch, dass es zählt, und falsch auf eine bestimmte Art: Die Antwort hat die richtige Form. Die Reihe hat die richtigen ersten Glieder; das Integral ist ein berühmter Wert mit den falschen Grenzen daran; die Faktorisierung hört dort auf, wo das Hinsehen endet. Jede Zeile unten zeigt die Antwort des Musters, das Glied, an dem sie scheitert, und was die Engine zurückgibt, wenn sie stattdessen rechnet.

Auf dieser Seite wird kein Modell genannt. Die linke Spalte ist das, was Mustererkennung bei diesen Aufgaben im Allgemeinen hervorbringt, und sie veraltet in dem Moment, in dem irgendein Modell besser wird; die rechte Spalte wird bei jedem Build erneut gegen die Engine verifiziert, und diese Seite kann nicht ausgeliefert werden, wenn sie abweicht.

Series[Tan[x], {x, 0, 9}]

Ein Sprachmodell, das aus Mustern antwortet

x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + 31x^9/2835 + O(x^11)

Das falsche Glied: 31x^9/2835

Qurak, rechnend

SeriesData[x, 0, {1, 0, 1/3, 0, 2/15, 0, 17/315, 0, 62/2835}, 1, 10, 1]

beim Build gegen die Engine verifiziert

The first four coefficients are common enough to be recalled correctly; the fifth is not. The true coefficient is 62/2835. A series that is right to four terms and wrong at the fifth looks like knowledge and is the shape of a guess.

Rechnen Sie es selbst

Eigenvalues[{{2, 0, 0, 1}, {0, 3, 1, 0}, {0, 1, 3, 0}, {1, 0, 0, 2}}]

Ein Sprachmodell, das aus Mustern antwortet

{4, 2, 3, 1} - or, from a sign slip in the characteristic polynomial, {4, 3, 2, -1}

Das falsche Glied: -1

Qurak, rechnend

{4, 3, 2, 1}

beim Build gegen die Engine verifiziert

A 4x4 characteristic polynomial has enough terms for one sign to go wrong on the way to the answer, and a wrong sign produces a wrong eigenvalue that still looks like one. Here the matrix decouples into two 2x2 blocks; the engine finds all four exactly rather than approximating the quartic.

Rechnen Sie es selbst

Integrate[Sin[x]/x, {x, 0, Infinity}]

Ein Sprachmodell, das aus Mustern antwortet

Pi - the integral over the whole real line, quoted for the half line

Das falsche Glied: Pi

Qurak, rechnend

Pi/2

beim Build gegen die Engine verifiziert

The Dirichlet integral is famous enough to be recalled, and famous enough to be recalled with the wrong limits: the value over (-inf, inf) is Pi, over (0, inf) it is Pi/2. Both facts are true; attaching the right one to the limits written down is the computation.

Rechnen Sie es selbst

FactorInteger[987654321987]

Ein Sprachmodell, das aus Mustern antwortet

{{3, 1}, {329218123329, 1}} - the cofactor declared prime by inspection

Das falsche Glied: 329218123329 declared prime

Qurak, rechnend

{{3, 1}, {329281, 1}, {999809, 1}}

beim Build gegen die Engine verifiziert

Dividing out the 3 is easy; deciding whether the twelve-digit cofactor is prime is not something inspection can do, so a plausible answer stops there and calls it prime. The engine factors it, and it is not.

Rechnen Sie es selbst

PowerMod[3, 1000000, 1000000007]

Ein Sprachmodell, das aus Mustern antwortet

1 - by Fermat's little theorem, misapplied: 3^(p-1) is 1 mod p, but the exponent here is not p-1

Das falsche Glied: 1

Qurak, rechnend

64935414

beim Build gegen die Engine verifiziert

The theorem is real and the shape of the problem invites it, but 10^6 is not 10^9+6. The correct residue is reached only by actually reducing, which is a few hundred squarings - trivial for an engine and impossible by inspection.

Rechnen Sie es selbst

Sum[1/n^4, {n, 1, Infinity}]

Ein Sprachmodell, das aus Mustern antwortet

Pi^4/96, or Pi^4/45 - a neighbour of the right constant

Das falsche Glied: Pi^4/96

Qurak, rechnend

Pi^4/90

beim Build gegen die Engine verifiziert

zeta(2) = Pi^2/6 is remembered by everyone; zeta(4) is remembered as 'Pi^4 over something', and the something is where a recalled answer diverges from a computed one. 90 is right; 96 and 45 both appear in nearby identities and are both wrong here.

Rechnen Sie es selbst

Ihr Assistent kann die Mathematik an die Engine übergeben

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